LaTeX: from Tex Writer to MathJax

This is text pasted from TeX Writer to MathJax. There's a need to cut out some code, like the document structure, (sub)section, line breaks, horizontal line code - code which MathJax doesn't read. Basically MatxJax only reads the formulas. You can simply replace all (if necessary) with simple html-tags.
I had some problems with embedding images as html-code, but I think that is a Drupal peculiarity, not a problem mith MathJax.
If you must know: learn Dutch and you can read how to derive sin(x). Like the Amazing Brewini magically changes beer in urine.


De afgeleide van sin(x)

Volgorde bewijsvoering

De goniometrische functie $ \sin (x) $ is gedefinieerd als de verhouding tussen de overliggende rechte zijde van een van de hoeken van een rechthoekige driehoek, gedeeld door de hypothenusa van die driehoek.

De afgeleide is eenvoudig te bewijzen met de definitie van de afgeleide, namelijk $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\label{0.1.1} \hspace{0.5cm}(1)$$

Voordat we deze substitutieoefening kunnen uitvoeren dient nog een aantal ondersteunende bewijzen te worden geleverd, zoals $$\sin(h-i)= \sin (h)\cdot cos (i) - cos (h) \cdot sin (i) \hspace{0.5cm}(2)$$ Dit zullen we bewijzen met een geometrische constructie. Daarna is eenvoudig af te leiden dat het volgende geldt: $$ sin (h) - sin (i) = 2\cdot\cos\left(\frac {h+i}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac {h-i}{2}\right) \hspace{0.5cm}(3)$$ Deze regel hebben we uiteraard nodig omdat $ sin (x) - sin (a) $ de noemer vormt van de breuk in formule (1). Met die bewijsvoeringen zijn we er nog niet, want het is ook noodzakelijk te bewijzen dat $$ \lim _{h\rightarrow 0}\frac{\sin\left({h}\right)}{h} = 1 \hspace{0.5cm}(4)$$
sin(h-i)

Laten we kijken naar figuur (1).
figuur 1

We zien dat de zijden AF, FG, en AG een rechthoekige driehoek vormen, evenals zijden DH, GH en DG. Daar elk van de eerste zijden loodrecht staat op de corresponderende zijde van de andere driehoek, volgt nu dat de hoek h, die AG en AF met elkaar maken en de hoek van DH en DG gelijk zijn.

We kunnen daarmee twee beschrijvingen geven van de $\sin(h)$ en $\cos(h)$ en een enkele beschrijving van de $\sin(i)$ en de $\cos(i)$. Laten we nu de $\sin(h+i)$ bepalen: deze is uiteraard gegeven door $$\frac{DE}{AD}$$ Daar echter DE de som is van DH en FG kunnen we ook schrijven: $$\sin(h+i)=\frac{FG+DH}{AD}=\frac{FG}{AD}+\frac{DH}{AD}$$ We kunnen beide breuken vermenigvuldigen met 1; hierdoor verandert het antwoord uiteraard niet. In dit geval is 1 gelijk aan $\frac{AG}{AG}$ en $\frac{DG}{DG}$. Nu is het mogelijk de breuken te herschrijven, en wel als volgt: $$\sin(h+i)=\frac{FG}{AD}\cdot\frac{AG}{AG}+\frac{DH}{AD}\cdot\frac{DG}{DG}$$ hetgeen na opnieuw schikken van de tellers (of de noemers) uitkomt op $$\sin(h+i)=\frac{FG}{AG}\cdot\frac{AG}{AD}+\frac{DH}{DG}\cdot\frac{DG}{AD}$$ Deze verhoudingen laten zich na controle in de figuur schrijven als $$\sin(h+i)=\sin(h)\cdot\cos(i)+\cos(h)\cdot\sin(i)\hspace{0.5cm}(5)$$

Uit deze formule kunnen we onmiddellijk $\sin(h-i)$ afleiden, daar we weten dat $\sin(-i)=-\sin(i)$ en $\cos(-i)=\cos(i)$. (Dit valt eenvoudig af te leiden uit het tekenen van de eenheidscirkel en het construeren van een positieve en negatieve hoek. In het eerste kwadrant zijn sin en cos positief, in het vierde is de cos ook positief maar de sin negatief.) Het plusteken zal dus veranderen in een minteken en de formule luidt nu: $$\sin(h-i)=\sin(h)\cdot\cos(i)-\cos(h)\cdot\sin(i)\hspace{0.5cm}(6)$$ Hiermee is stelling (2) bewezen.

sin(h)-sin(i)

Uit formule (5) en (6) kan $\sin(h)-\sin(i)$ worden afgeleid.

Laten we deze formules onder elkaar zetten en respectievelijk bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken. Onder de lijn staat als eerste vergelijking de optelling en als tweede het verschil. $$\sin(h+i)=\sin(h)\cdot\cos(i)+\cos(h)\cdot\sin(i)$$ $$\sin(h-i)=\sin(h)\cdot\cos(i)-\cos(h)\cdot\sin(i)$$


$$\sin(h+i)+\sin(h-i)=2\sin(h)\cdot\cos(i)$$ $$\sin(h+i)-\sin(h-i)=2\cos(h)\cdot\sin(i)$$

Nu substitueren we: $$h+i=A$$ $$h-i=B$$ waaruit volgt dat $A+B=2h$ en $A-B=2i$ ofwel $h=\frac{A+B}{2}$ en $i=\frac{A-B}{2}$

Daarmee kunnen we $\sin(h+i)-\sin(h-i)$ schrijven als: $$\sin(A)-\sin(B)=2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$ Uiteraard is dit onmiddellijk te vervangen door: $$\sin(h)-\sin(i)=2\cos\left(\frac{h+i}{2}\right)\sin\left(\frac{h-i}{2}\right)$$ of welke combinatie van hoeken ook. Hiermee is stelling (3) bewezen.

limiet sin(h)/h

We beschouwen drie sectoren van de eenheidcirkel uit figuur (2) met daarin de hoek h getekend.
figuur 2

Het is duidelijk dat de driehoek ABC binnen de cirkel een kleinere oppervlakte heeft dan de cirkelsector ADC, die op zijn beurt weer een kleinere oppervlakte heeft dan de grote driehoek ADE. Laten we nu de drie oppervlaktes berekenen. De algemene formule voor de oppervlakte van een driehoek is $\frac{(l\cdot h)}{2}$.

De oppervlakte van driekhoek ABC is (daar het de eenheidscirkel betreft) $\frac{\sin(h)\cdot\cos(h)}{2}$. De oppervlakte van het cirkelsegment ADC is ook eenvoudig uit te rekenen. De gehele hoek van de eenheidscirkel is $2\pi$. De oppervlakte van de gehele cirkel is, daar het de eenheidscirkel betreft $\pi \cdot r^2=\pi \cdot 1^2 = \pi$ Nu is de hoek h het $\frac{h}{2\pi}$-de deel van de hele hoek; de oppervlakte van het segment is daarmee $\frac{h}{2\pi}\cdot\pi=\frac{h}{2}$ De oppervlakte van de driehoek ADE is $\frac{\tan(h)}{2}$. Daar $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ kan de oppervlakte ook uitgedrukt worden als $\frac{\sin(h)}{2\cos(h)}$

Nu zetten we de oppervlaktes in volgorde van grootte, van klein naar groot: $$\frac{\sin(h)\cdot\cos(h)}{2}\leq\frac{h}{2}\leq\frac{\sin(h)}{2\cos(h)}$$ Allereerst elimineren we de 2, zodat we overhouden: $$\sin(h)\cdot\cos(h)\leq h \leq\frac{\sin(h)}{\cos(h)}$$ Aangezien we op zoek zijn naar de limiet van $h\rightarrow 0$ voor $\frac{\sin(h)}{h}$ kunnen we in het midden $\sin(h)$ toevoegen door alle elementen door $\sin(h)$ te delen. Dit mag, daar alle onderdelen in het product positief zijn. Het levert de volgende vergelijking op: $$\frac{\sin(h)\cdot\cos(h)}{\sin(h)}\leq \frac {h}{\sin(h)} \leq\frac{\sin(h)}{\cos(h)\cdot \sin(h)}$$ Een hernieuwde vereenvoudigingsoperatie brengt ons dit: $$\cos(h)\leq\frac{h}{\sin(h)}\leq\frac{1}{\cos(h)}$$ Door de teller en de noemer om te draaien wijzigen alle symbolen $\leq$ in $\geq$. We zien dan $$\frac{1}{cos(h)}\geq\frac{\sin(h)}{h}\geq\cos(h)$$ Dit kunnen we echter weer ongedaan maken door de volgorde van de argumenten ook om te draaien. We houden dan over: $$\cos(h)\leq\frac{\sin(h)}{h}\leq\frac{1}{\cos(h)}$$ Laten we nu voor de linker- en de rechterkant de limiet bekijken voor $h\rightarrow 0$, dat ons links $\cos(0)=1$ oplevert en rechts $\frac{1}{\cos(0)}=\frac{1}{1}=1$ Dit brengt ons tot de limiet van het middelste getal: $$1\leq \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(h)}{h} \leq 1$$ en dus geldt $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(h)}{h}=1$$
Hiermee is (4) bewezen.

De afgeleide van sin(x)

Op basis van de definitie van de afgeleide is $f'(x)$ in a van $\sin(a)$ als volgt te bewijzen. Volgens formule(1) $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ geldt $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin(x)-\sin(a)}{x-a}$$ Inmiddels hebben we aangetoond dat dit gelijk is aan: $$\lim_{x\rightarrow a} \frac {{2\cos\frac{(x+a)}{2}\cdot\sin\frac{(x-a)}{2}}}{x-a}$$ Met het wegdelen van 2 uit de teller introduceren we nu een deling door 2 in de noemer. Dat maakt van het bovenstaande geheel het volgende: $$\lim_{x\rightarrow a} \frac {{cos\frac{(x+a)}{2}\cdot\sin\frac{(x-a)}{2}}}{\frac {x-a}{2}}$$ We herkennen hier onmiddellijk stelling (4) in. Laten we daarom $\frac {x-a}{2}$ vervangen door h. Dat heeft enige consequenties. Als $\frac {x-a}{2}=h$ dan geldt $\frac{x+a}{2}=h+a$; tevens gaat in het geval ${x\rightarrow a}$ de ${h\rightarrow 0}$ Zo kunnen we finaliseren met: $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(h+a)\cdot\sin(h)}{h}=$$ $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}\cdot\cos(h+a)=$$ $$1\cdot\cos(a)=\cos(a)$$ Daarmee is het bewijs geleverd dat de afgeleide in $\sin(a)$ $\cos(a)$ is. Daarmee geldt uiteraard ook:

$$\text{als } f(x)=\sin(x) \text{ dan } is f'(x)=\cos(x)$$

Tot slot

Op een vergelijkbare wijze is natuurlijk ook te manipuleren met $\cos(x)$. Na doorrekenen blijkt hier dan de afgeleide $f'(x)= -\sin(x)$ Met de kennis van $\frac{\sin}{\cos}=\tan$ en de product- en quotientregel is dan eveneens de afgeleide van de $\tan(x)$ te berekenen. Maar daarover elders meer.